علوم للجميع | المنتدى |
|
||||||
يحوي قسم الـ , علوم الرياضياتعلم الدراسة المنطقية لكم الأشياء وكيفها وترابطها |
![]() ![]() |
#1
|
||||
|
||||
![]() الأساس للفضاء التوبولوجي
The Base of Topological Space تعريف : ليكن لدينا ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() أي بمعنى : ![]() نلاحظ ما يلي : 1) عناصر الأساس هي بالأصل عناصر في التوبولوجي ، أي أنها عبارة ن مجموعات مفتوحة . 2) الأساس يهتم بالمجموعات التي تكفي لتوليد بقية المجموعات المفتوحة الغير فارغة . 3) تكمن أهميته في التعامل مع الأسئلة بعناصر الأساس بدل من أن نتعامل مع عناصرالتوبولوجي بشكل مباشر . 4) يعطي صورة جميلة عن عناصر التوبولوجي بشكل عام . إذن لنوضح مفهوم الأساس ببعض الأمثلة : 1) لتكن لدينا ![]() ![]() و بالتالي لو فرضنا : ![]() و أيضاً لو فرضنا : ![]() ![]() ![]() 2) في الفضاء التوبولوجي ![]() ![]() ![]() 3) في الفضاء التوبولوجي ![]() ![]() 4) في الفضاء التوبولوجي ![]() ![]() ![]()
الجواب : يمكن أن نحصل على التوبولوجي للفضاء عن طريق أخذ جميع الإتحادات الممكنة للمجموعات المفتوحة الأساسية في الأساس ، و إضافة المجموعة ![]() الآن لو افترضنا أنه لدينا الأساس ![]() ![]() ![]() لنوضح المفهوم بمثال بسيط : لتكن لدينا ![]() ![]() ![]() الأساس في صياغته يساعد على معرفة إن كانت المجموعة مفتوحة عن طريق عناصره و التي تتلخص ف يالنظرية البسيطة الأتية : نظرية (1) : ليكن لدينا ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() الإثبات : الآن ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() و بالتالي ![]() ![]() ![]() من أحد التعاريف المكافئة لتعريف الأساس النظرية الآتية : نظرية (2) : ليكن لدينا ![]() ![]() ![]() ![]() 1) لكل نقطة ![]() ![]() ![]() 2) و لكل مجموعتين ![]() ![]() ![]() ![]() الإثبات : واضح لدينا أنه لو كانت ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() لكي نثبت أنه أساس ، فعلينا أن نثبت أن ![]() ![]() ![]() نذكر أن ![]() ![]() ![]() لنتحقق من شروط التوبولوجي : 1) المجموعة ![]() ![]() من شرط (1) لكل ![]() ![]() ![]() و بالتالي : ![]() ![]() ![]() ![]() 3) الآن لو كان لدينا ![]() الآن إن كان ![]() ![]() لنفرض أن تقاطعهم غير فارغ ، و بما أن : ![]() ![]() الآن : ![]() ![]() الآن من شرط (2) ، لكل عنصر ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() و بإستخدام الإستقراء الرياضي يمكن تعميم إلى أي ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() الآن هذه النظرية مهمة في تحديد أي عائلة من المجموعات كانت تشكل أساس أو لا بدل من أخذ جميع الإتحادات الممكنة. لنبين مفهوم النظرية بمثال بسيط : في الفضاء الإقليدي التربيعي ![]() ![]() أي أن شكل عناصر الأساس في الفضاء الإقليدي التربيعي هي داخلية الدوائر . انظر الشكل لترى تحقق الشروط : نتيجة (1) : ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() الإثبات : لكي نثبت اأنه أساس للتوبولوجي يحب أن نثبت : أ) أنه أساس و هي واضحة من شروط النظرية(2) متروك للقارىء . ب) ![]() لإثبات (ب) : عناصر ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() فمثلاً في الفضاء التوبولوجي المعتاد على ![]() ![]() ![]() نظرية (3) : لتكن ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1) ![]() 2) إذا كانت ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (1) ![]() لتكن حسب الشرط الثاني ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() لتكن ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() وهو المطلوب . لاحظ أن أهمية هذه النظرية تكمن في مقارنة التوبولوجي بواسطة عناصر الأساس ، و لكن كيف نستطيع أن نتذكر دائماً أن عناصر التوبولوجي الأقوى دائماً داخل عناصر التوبولوجي الأضعف . تخيل أن عناصر الأساس للتوبولوجي الأضعف هي حصى (حجارة صغيرة ) ، و تخيل أن هذه الحصى تم سحقها في آلة سحق معينة ليصبح لدينا تراب ناعم . و بالتالي ذرات التراب هي عناصر الأساس للتوبولوجي الأقوى ، أي أن ذرات التراب تنتمي لحصى من التوبولوجي الأضعف . نلاحظ من النظرية السابقة نتيجة هامة لمعرفة إن كان التوبولوجيين متساويين عن طريق عناصر الأساس و هي : نتيجة (2) : لتكن ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1) إذا كانت ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() أي أنه يمكن أن يتواجد أكثر من أساس للفضاء بحيث كلها تؤدي إلى توليد نفس التوبولوجي . فمثلاً : في الفضاء التوبولوجي ![]() ![]() ![]() ![]() فكر : هل يوجد غير للتوبولوجي المعتاد ؟؟؟ و نلاحظ أيضاً في المثال السابق : في الفضاء الإقليدي التربيعي ![]() و السبب انظر الشكل :
ليكن لدينا ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() الإثبات : 1) بما أن ![]() ![]() ![]() 2) لتكن ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() قد أوضحنا سابقاً مثال يبن كيفية بناء الأساس للتوبولوجي الجزئي و هو : مثال (*) : ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي المعتاد على ![]() ![]() ![]() الحل : الآن بما أنه ![]() ![]() ![]() المراجع : 1) General Topology , Paul Long 2) General Topology , James Munkres
زوار منتدى علوم للجميع الكرام ,, يشرفنا كتابة ارائكم حول المواضيع المطروحة
[اضافة تعليق]
|
![]() |
||||
|
||||
![]() يعطيك الف عافية ياغالي عالمجهود دمت بسعادة وحب .... ؛؛؛؛؛؛ مـ°ـع تہحہيہاتــ°ـي ؛؛؛؛؛؛ [ |
![]() |
||||
|
||||
![]()
مع اني ما فهمت شي
وفتت بالحيط بس شكرا لجهودك الرائعه دمت بخير |