الأساس للفضاء التوبولوجي

الأساس للفضاء التوبولوجي
The Base of Topological Space
تعريف :
ليكن لدينا فضاء توبولوجي ، و ليكن لدينا ، نقول عن عبارة عن أساس للتوبولوجي إذا و فقط إذا كان لكل مجموعة مفتوحة يمكن كتابتها على شكل اتحاد من مجموعات في .
أي بمعنى :


نسمى المجموعة من عناصر الأساس بمجموعة مفتوحة أساسية أو مجموعة مفتوحة من الأساس (basic open set)،أو نسمها عناصر الأساس ( basis elements )، و نشير أن هذا الأتحاد ليس وحيد ، وبالتالي يختلف عن مفهوم الأساس الذي يكون في الجبر الخطي.
نلاحظ ما يلي :
1) عناصر الأساس هي بالأصل عناصر في التوبولوجي ، أي أنها عبارة ن مجموعات مفتوحة .
2) الأساس يهتم بالمجموعات التي تكفي لتوليد بقية المجموعات المفتوحة الغير فارغة .
3) تكمن أهميته في التعامل مع الأسئلة بعناصر الأساس بدل من أن نتعامل مع عناصرالتوبولوجي بشكل مباشر .
4) يعطي صورة جميلة عن عناصر التوبولوجي بشكل عام .
إذن لنوضح مفهوم الأساس ببعض الأمثلة :
1) لتكن لدينا ، و ليكن لدينا .
و بالتالي لو فرضنا :

فسيكون عبارة عن أساس للتوبولوجي السابق لأنه محقق شرط التعريف .
و أيضاً لو فرضنا :


عبارة أيضاً عن أساس للتوبولوجي السابق ، لا تنسى أن الأساس يعطي المجموعات الغير فارغة في أصل التعريف إلا إن كان في أحد عناصر المجموعةا الكلوبن مثلما كان الأمر في .
2) في الفضاء التوبولوجي و لنفرض أن :


عبارة عن أساس للتوبولوجي المعتاد على ، و هذا يفسر سبب تعاملنا فقط بالفترة المفتوحة في الأسئلة و النظريات .
3) في الفضاء التوبولوجي لنفرض أن :

عبارة عن أساس للتوبولوجي المتقطع .
4) في الفضاء التوبولوجي فإن أساسه كل التوبولوجي أي :

و كذلك الأمر بالنسبة للتوبولوجي ، و نشير أنه لا يوجد أساس جزئي من التوبولوجيين السابقيين غير هذا الأساس ، أي الأساس الذي يساوي التوبولوجي كاملاً.

الآن يأتي السؤال الآتي :
لو كان لدينا أساس لفضاء معين ، كيف يمكن الحصول على التوبولوجي له ؟
الجواب :
يمكن أن نحصل على التوبولوجي للفضاء عن طريق أخذ جميع الإتحادات الممكنة للمجموعات المفتوحة الأساسية في الأساس ، و إضافة المجموعة ، الأمر يكون سهل في الفضاءات المحدودة ، و المشكلة تكمن في الفضاءات اللامنتهية قد لا نحتاج لكتابة التوبولوجي له ، و لكن يجب أن تكون قادراً على تميز لأي مجموعة معطاة هل هي عبارة عن اتحاد من المجموعات الأساسية أو لا
الآن لو افترضنا أنه لدينا الأساس للتوبولوجي، فإننا نرمز للتوبولوجي المولد من بالرمز .
لنوضح المفهوم بمثال بسيط :
لتكن لدينا ، و ليكن و لدينا عبارة عن أساس للتوبولوجي فإن :

و هذا هو جميع الإتحادات الممكنة له .
الأساس في صياغته يساعد على معرفة إن كانت المجموعة مفتوحة عن طريق عناصره و التي تتلخص ف يالنظرية البسيطة الأتية :
نظرية (1) :
ليكن لدينا فضاء توبولوجي ، و ليكن لدينا أساس للتوبولوجي ، و بالتالي :
مجموعة مفتوحة في إذا و فقط إذا لكل عنصر ، يوجد لدينا مجموعة بحيث .
الإثبات :
الآن مجموعة مفتوحة إذا و فقط إذا كان يوجد لدينا مجموعة مفتوحة بحيث :

يوجد لدينا بحيث :

أي أنها اتحاد عدد من عناصر الأساس و هو و ربما يكون كل الأساس .
و بالتالي حيث ، و منها نصل إلى :

و هو المطلوب .
من أحد التعاريف المكافئة لتعريف الأساس النظرية الآتية :
نظرية (2) :
ليكن لدينا فضاء توبولوجي ، و ليكن لدينا عائلة من المجموعات الجزئية من ، فإننا نعتبر عبارة عن أساس إذا و فقط إذا كانت محققة :
1) لكل نقطة يوجد لدينا بحيث .
2) و لكل مجموعتين و لكل نقطة ، فإنه يوجد لدينا مجموعة بحيث .
الإثبات :
واضح لدينا أنه لو كانت عبارة عن أساس ، فإن الشرط الأول و الثاني متحققة مباشرة بسبب أن عناصر الأساس بالأصل في و لدينا ايضاً في ، فيمكن كتابتها بشكل اتحاد مجموعات من .
لكي نثبت أنه أساس ، فعلينا أن نثبت أن عبارة عن توبولوجي على و لد بواسطة .
نذكر أن هي عبارة عن جميع الاتحادات الممكنة لعناصر مع إضافة إن لم تكن موجودة .
لنتحقق من شروط التوبولوجي :
1) المجموعة موجودة ، لنثبت ان أيضاً موجودة .
من شرط (1) لكل يوجد لدينا بحيث .
و بالتالي :

2) بما أن هي عبارة عن جميع الإتحادات الممكنة من ، فإن اتحاد أي عائلة من مجموعاته ستكون بالتأكيد في داخله بسبب أنها عبارة عن اتحاد مع عناصر .
3) الآن لو كان لدينا .
الآن إن كان فتقطاعهم عنصر في .
لنفرض أن تقاطعهم غير فارغ ، و بما أن :
و
الآن :

يكفي إثبات ان .
الآن من شرط (2) ، لكل عنصر في داخلهما يوجد مجموعة بحيث :

و بالتالي يمكن كتابة :

و بالتالي أصبح لدينا :
عبارة عن اتحاد من مجموعات من .
و بإستخدام الإستقراء الرياضي يمكن تعميم إلى أي .
لدينا عبارة عن توبولوجي على ، و بالتالي عبارة عن أساس .
الآن هذه النظرية مهمة في تحديد أي عائلة من المجموعات كانت تشكل أساس أو لا بدل من أخذ جميع الإتحادات الممكنة.
لنبين مفهوم النظرية بمثال بسيط :
في الفضاء الإقليدي التربيعي ، جميع داخلية الدوائر Interior of circles تعتبر أساس للتوبولوجي على بسبب أن داخلية الدوائر تحقق الشرطين السابقين في نظرية (2) .
أي أن شكل عناصر الأساس في الفضاء الإقليدي التربيعي هي داخلية الدوائر .
انظر الشكل لترى تحقق الشروط :


و كذلك الأمر بالنسبة لو تم أخذ داخلية المستطيلات أيضاً ، انظر الشكل .


نتيجة (1) :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي ، و ليكن لدينا عبارة عن أي عائلة من المجموعات المفتوحة في بحيث لكل مجموعة مفتوحة مجموعة مفتوحة في ، و لكل يوجد لدينا مجموعة مفتوحة بحيث :

وبالتالي :
عبارة عن أساس للتوبولوجي .
الإثبات :
لكي نثبت اأنه أساس للتوبولوجي يحب أن نثبت :
أ‌) أنه أساس و هي واضحة من شروط النظرية(2) متروك للقارىء .
ب‌) :
لإثبات (ب) :
عناصر هي في ، و بما أن مغلقة تحت أي اتحاد من المجموعات المفتوحة و بالتالي أي عنصر في هو عبارة عن عنصر في و بالتالي :

الآن إن كانت و كانت فإنه حسب الفرض بحيث و بالتالي :

أي أن ، و بالتالي :

واضح من خلال هذه النتيجة أن يمكطن البحث فقط عن مجموعات بفتوحة بحيث تحقق الشروط المذكورة يكون أقل سهولة لإيجاد الأساس للتوبولوجي .
فمثلاً في الفضاء التوبولوجي المعتاد على يمكن إيجاد مجموعات مفتوحة بحيث تحقق الشروط و هي :

الآن للأساس دور هام في مقارنة التوبولوجي على مجموعة و الذي سنين دوره في النظرية الآتية :
نظرية (3) :
لتكن ، و ليكن لدينا أساس مولداً التوبولوجي ، و ليكن لدينا أساس مولداً التوبولوجي ، و كلاهما على ، و بالتالي الآتي متكافىء :
1) .
2) إذا كانت و كانت بحيث فإنه يوجد بحيث :

الإثبات :
(1) (2) :
لتكن حسب الشرط الثاني بحيث ، و بما أن و و بالتالي ، و بما أن مولد بواسطة و بالتالي يوجد لدينا بحيث :

(2) (1) :
لتكن و لتكن و بما أن مولد بواسطة الأساس و بالتالي يوجد لدينا بحيث و لكن حسب شرط (2) ، يوجد لدينا بحيث :

و بالتالي يمكن كتابة على شكل اتحاد من عناصر الأساس أي أن .
وهو المطلوب .
لاحظ أن أهمية هذه النظرية تكمن في مقارنة التوبولوجي بواسطة عناصر الأساس ، و لكن كيف نستطيع أن نتذكر دائماً أن عناصر التوبولوجي الأقوى دائماً داخل عناصر التوبولوجي الأضعف .
تخيل أن عناصر الأساس للتوبولوجي الأضعف هي حصى (حجارة صغيرة ) ، و تخيل أن هذه الحصى تم سحقها في آلة سحق معينة ليصبح لدينا تراب ناعم .
و بالتالي ذرات التراب هي عناصر الأساس للتوبولوجي الأقوى ، أي أن ذرات التراب تنتمي لحصى من التوبولوجي الأضعف .
نلاحظ من النظرية السابقة نتيجة هامة لمعرفة إن كان التوبولوجيين متساويين عن طريق عناصر الأساس و هي :
نتيجة (2) :
لتكن ، و ليكن لدينا أساس مولداً التوبولوجي ، و ليكن لدينا أساس مولداً التوبولوجي ، و كلاهما على ، و بالتالي يكون لدينا إذا وفقط إذا كان لدينا :
1) إذا كانت و كانت بحيث فإنه يوجد بحيث :

2) إذا كانت و كانت بحيث فإنه يوجد بحيث :

الإثبات : اتبع نفس التكنبك الذي اتبع في إثبات النظرية (3) .
أي أنه يمكن أن يتواجد أكثر من أساس للفضاء بحيث كلها تؤدي إلى توليد نفس التوبولوجي .
فمثلاً :
في الفضاء التوبولوجي نلاحظ أن :

و أيضاً الأساس :

و أيضاً الأساس :

تولد جميعها نفس التوبولوجي .
فكر : هل يوجد غير للتوبولوجي المعتاد ؟؟؟
و نلاحظ أيضاً في المثال السابق :
في الفضاء الإقليدي التربيعي ،الأساس المكون من جميع داخلية الدوائر و الأساس المكون من داخلية المسطتيلات كلاهما متكافئين .
و السبب انظر الشكل :

الأساس للفضاء التوبولوجي الجزئي :
نظرية (4) :
ليكن لدينا فضاء توبولوجي و ليكن أساس للتوبولوجي و لتكن و بالتالي :

عبارة عن أساس للفضاء للتوبولوجي .
الإثبات :
1) بما أن و بالتالي لجميع المجموعات .
2) لتكن و بالتالي يوجد لدينا مجموعة مفتوحة بحيث :

و لكن

و بالتالي :

أي أن أساس للتوبولوجي .
قد أوضحنا سابقاً مثال يبن كيفية بناء الأساس للتوبولوجي الجزئي و هو :
مثال (*) :
ليكن لدينا الفضاء التوبولوجي المعتاد على ، و ليكن لدينا ، جد الشكل العام للمجموعات المفتوحة في .
الحل :
الآن بما أنه عبارة عن أساس للتوبولوجي المعتاد فإن شكل عناصر الأساس للتوبولوجي هي :

و هذه هي عناصر الأساس للتوبولوجي .

المراجع :
1) General Topology , Paul Long
2) General Topology , James Munkres