الجزء الثاني : اللانهاية من وجهة نظر ( جورج كانتور & باول كوهن )

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته


الجزء الأول : اللانهاية من وجهة نظر ( جورج كانتور & باول كوهن )

المقالة بقلم ريتشارد إلوس مقسمة الى جزئين
الجزء الأول
http://plus.maths.org/content/cantor...igators-part-i
الجزء الثاني
http://plus.maths.org/content/os/iss...s/elwes2/index
ترجمة : زهره آل ناصر



كانتور: صانع لعبه اللانهايه





كان جورج كانتورGeorg Cantor منطقي ألماني الذي- في نهايه القرن 19- حقق الإنجاز الذي حلم به العلماء و الفلاسفه و المتكلمين و هو التحليل المفصل للانهايه. بالنسبه لكانتور شخصياً, كانت نتائج هذا النصر غير سعيده. مع عدم قدرته على حل أحد الأسئله التي فتحها عمله – المعروف بفرضيه الإستمراريه- أصبح كانتور موسوس و بائس مع فشله . بالإضافه إلى مأساته الشخصيه- موت إبنه- و الإهانه العلنيه من رفض عمله و وصفه بأنه: " مائه عام قريبه جداً" , قضى كانتور آخر سنوات عمره في الدخول و الخروج من المصحات.
كان إكتشاف كانتور بأنه ليس هناك لانهايه واحده فقط, لكن تسلسل لاينتهي أبداً منها و كل نهايه أكبر من السابقه. إنها فكره ملتويه ولكن كان المدخل إلى عالمه الغريب – للمفاجأه- مفهوم سهل و مألوف.
إفترض أن لديك مجموعتين من الأشياء, سمهما المجموعهA و Bالمجموعه كيف يمكنك أن تعرف أيهما أكبر او أنهما من نفس الحجم؟ طبعاً يمكنك عد جميع الأشياء فيAثم عد جميع الأشياء فيB و مقارنه العددين. لكن يمكن أن يكون من الأسهل – لتجنب خطر فقدان العد- محاوله مطابقه عناصر المجموعتين: إربط كل عنصر من Aمع عنصر من Bإلى أن تنتهي عناصر إحدى المجموعتين. المجموعات التي يمكن مطابقه جميع عناصرها كلياُ فهي من نفس الحجم و المجموعات التي لايمكن مطابقه جميع عناصرها فهي مختلفه الحجم . هذه الفكره يمكن بصعوبه تبسيطها لكن في يدي كانتور أنتجت إكتشافاً مذهلاً: لقد أثبت أن بعض المجموعات اللانهائيه لايمكن مطابقتها مع أي مجموعه أخرى لذلك يجب علينا على الفور أن نستنتج أن هناك مستويات مختلفه من اللانهايه و بعضها أكبر من الأخرى.
طبق كانتور طريقته على بعض الكائنات الرياضيه المعروفه. على سبيل المثال الأعداد الطبيعيه وهي مجرد تعداد للأرقام العاديه 4،3،2،1،0 ........ قد يبدو من الواضح أن مجموعه الأعداد الزوجيه { 8،6،4،2،0 .........} يجب أن تكون أصغر من مجموعه الأعداد الطبيعيه، فبعد كل شئ أليست هي سوى نصفها؟ لكن للغرابه، يمكن بسهوله مطابقه المجموعتين: 0 إلى 0، 1 إلى 2، 2 إلى 4 ، 3 إلى 6 ، ...... وهكذا فقط بالضرب في 2 كل مره. لذلك علينا أن نستنتج أن المجموعتين ، في مفهوم كانتور، هما في الواقع من نفس الحجم.
مجموعه الأعداد الحقيقيه هي كائن آخر أساسي، و الذي يمكن التفكير فيه على أنه تجمع لكل المفكوكات العشريه اللانهائيه (مثل 19.000000000... أو 1.234567891011121314151617181920 ....) يمكنك أن تفكر في الأعداد الحقيقيه على أنها نقاط على خط طويل من دون ثقوب فيه. لهذا السبب فإن مجموعه الأعداد الحقيقيه تسمى أحياناً المستمره The continuum . أثبت كانتور أن أي محاوله لمطابقه الأعداد الحقيقيه مع الأعداد الطبيعيه سوف تفشل: سيكون هناك دائماً بعض الأرقام الحقيقيه التي سوف تُغفل. بالتالي فنحن مضطرون إلى إستنتاج أن لانهايئه الأعداد الحقيقيه أكبر من لانهايئه الأعداد الطبيعيه.
و هنا سؤال: هل هناك لانهايه بين لانهايئه الأعداد الطبيعيه و لانهايئه الأعداد الحقيقيه ؟ و بكلام آخر، إذا أخذت أي تجمع من الأعداد الحقيقيه ، فهل صحيح أنه يمكن مطابقتها إما مع الأعداد الطبيعيه أو مع كل الأعداد الحقيقيه ؟ أو أن هناك حجم وسط ممكن؟ فرضيه الإستمراريهThe Continuum hypothesis هي العباره أنه ليس هناك حجم وسطي. كان هذا السؤال هو الذي جلب لكانتور الكثير من الإحباط و البؤس. ويمكننا الخوض في تفاصيل أكثر بإستخدام نظام كانتور للأعداد اللانهائيه.
أهميه الأعداد الأساسيه
بنى كانتور نظامه من أعداد خاصه تسمى الأعداد الأساسيهCardinal numbers ، و التي تقيس الأحجام المختلفه الممكنه للمجموعات. الخاصيه المهمه لها هي أن كل مجموعه واحده يمكن مطابقتها مع عدد أساسي واحد بالضبط. الأعداد الأساسيه المنتهيه ليست سوى الأعداد الطبيعيه : 5،4،3،2،1،0، ......... و هي تقابل المجموعات المنتهيه من نفس الحجم: مجموعه ذو عنصر واحد لها العدد الأساسي 1، مجموعه ذو عنصرين لها العدد الأساسي 2، وهكذا. لكن هناك أعداد أساسيه غير منتهيه أيضاً، عدد لانهائي منهم. إكتشف كانتور كيفيه توسيع العمليات الأساسيه، مثل الجمع و الضرب على هذه الأعداد اللانهائيه.
العدد الأساسي اللانهائي الأول هو ( وهي " ألِف نوت" حيث هو الحرف الأول من الحروف الهبريه). هو حجم الأعداد الطبيعيه. و بالتالي تكون مجموعه من الحجم إذا كان يمكن مطابقه عناصرها مع الأعداد الطبيعيه: و هذا يعني إذا كنت تستطيع عدّهم. و لهذا السبب المجموعات ذات العدد الأساسي تسمى معدوده. العدد الأساسي التالي هو : العدد الأساسي الأول للمجموعات غير القابله للعدّ.
ثم هنالك و هكذا ( وهذا فقط للمبتدئين). لايوجد هناك العدد الأساسي الأكبر: و لكن العدد الأساسي الكبير جداً هو - يمكنك دائماً التحدث عن العدد الأساسي التالي- الذي يكون هو أصغر عدد أكبر من العدد الذي لديك مسبقاً.
و لكن هذه ليست الطريقه الوحيده للحصول على عدد أساسي أكبر من العدد الذي لديك مسبقاً. إذا كان لديك مجموعه ، يمكنك تكوين مجموعه أكبر تسمى مجموعه المجموعات. المجموعه هي تجمع كل المجموعات الجزئيه من . وهكذا على سبيل المثال إذا كانت مجموعه مكونه من ثلاثه عناصر فإن هي:

حيث هي المجموعه الخاليه: المجموعه التي لايوجد بها عناصر. إذا كانت مجموعه الأعداد الطبيعيه من 1 إلى 100 : و مجموعه الأعداد الأوليه و مجموعه الأعداد الفرديه و المجموعه الخاليه و كل مجموعه يمكن تكوينها من الأعداد الطبيعيه . إذا فعلت ذلك مع مجموعه منتهيه ( المجموعه في الأعلى لها ثلاث عناصر)، فإن عدد العناصر في هو 2 مرفوع للقوه حجم المجموعه ( في هذه الحاله ) . أثبت كانتور أنه للمجموعات الغير منتهيه أيضاً فإن مجموعه المجموعات دائماً أكبر من المجموعه الأصليه : لايمكن مطابقتهما معاً. إذا كانت المجموعه لها العدد الأساسي A ، فإننا نقول أن لها العدد الأساسي . و هكذا فإن العدد الأساسي هو حجم مجموعه مجموعات الأعداد الطبيعيه وله أهميه خاصه. العديد من المجموعات المهمه ، بما في ذلك مجموعه الأعداد الحقيقيه، لها العدد الأساسي و لهذا السبب تسمى بالإستمراريه. و الآن يمكننا إعاده صياغه فرضيه الإستمراريه : إنها التأكيد أن
إذا كانت فرضيه الإستمراريه صحيحه فإنه لايوجد عدد أساسي بين و . و هكذا أي تجمع لانهائي من الأعداد الحقيقيه يجب أن يكون له إما العدد الأساسي أو . و ليس هناك عدد بينهما. لكن إذا كانت فرضيه الإستمراريه خاطئه فإن تقع بين و . و بالتالي يجب أن يكون هناك تجمع لانهائي من الأعداد الحقيقيه التي لها العدد الأساسي : كبيره جداً ليتم مطابقتها مع مع الأعداد الطبيعيه و صغيره جداً لتكون مطابقه مع كل الأعداد الحقيقيه.
إعتقد كانتور أن فرضيه الإستمراريه كانت صحيحه، و أمضى سنوات عدّه في محاوله إثباتها حتى وفاته في العام 1918 م. في العام 1900 م، أعلن الرياضي المؤثر ديفيد هلبرتDavid Hilbert 24 سؤال رياضي للقرن الجديد و التي تحدد مسار الرياضيات لـ 100 عام القادمه. كان هلبرت متحمس بالنسبه لنظريه المجموعات و التي تسمى " جنّه كانتور" . و قد وضع فرضيه الإستمراريه على أنها المشكله الأولى في قائمته.
باول كوهن: قهر الإستمراريه

إن قصه فرضيه الإستمراريه تشبه كثيراً مسلمه الإختيار التي عالجناها في مقاله أخرى . حاول الرياضيون في بدايه القرن العشرين بإبتكار نظام المسلمات الذي من شأنه أن يخدم كأساس لجميع الرياضيات. كان الغرض من العمل من المسلمات هو لجعل الرياضيات دقيقه جداً بحيث تكون وثبات الإيمان و نفحات الإلهام التي تشكل بطبيعه الحال جزءاً من عمل كل رياضي يمكن إثباتها بشكل كامل من هذه القوانين الأساسيه. و كان الإفتراض أنه ينبغي أن يكون من الممكن إستنتاج كل حقيقه رياضيه من هذه المسلمات الرياضيه بإستخدام قواعد المنطق فقط.
قدّم عمل الرياضي إرنست زرملو Ernst Zermeloفي أوائل القرن العشرين الأساس لمثل هذا النظام المسلماتي مبني على نظريه المجموعات. هذا النظام يعرف الآن بـ ZFC ( نسبه إلى زرملو , Zermeloأبراهام فرانكلAbraham Fraenkel و الإختيار Choice ). و هذا الإصدار من نظريه المجموعات مازال يدعم تقريباً جميع الرياضيات اليوم: كل الأعداد و تقريباً كل المواضيع الرياضيه يمكن بسهوله بناؤها داخل عالم مجموعات نظري مبني على ZFC .
إعتقد الرياضيون في ذلك الوقت أن فرضيه الإستمراريه يمكن أيضاً أن تجد مكانها في هذا العالم: لقد حاولوا إثباتها من مسلمات ZFC. لكنهم فشلوا. كان التقدم الحقيقي الأول في العام 1940م بواسطه الرياضي كورت غودل Kurt Gödelالذي أثبت أن فرضيه الإستمراريه لا تقدم أي تناقضات في نظام ZFC . طبعاً هذه الطريقه تثبت أنها في الحقيقه صحيحه.
كان إنتصار باول كوهن Paul Cohenبإبتكار الجبر forcing . تقنيه قويه لبناء عوالم جديده من المجموعات التي تحقق ZFC و لكن التي من الممكن تكييفها لتحقق شروط إضافيه أيضاً. في العام 1963م ، حوّل كوهن تقنيته الرائده نحو فرضيه الإستمراريه. لقد بنى عالم مجموعات نظري يحقق ZFC لكن تكون فيه فرضيه الإستمراريه خاطئه. و بالعمل مع كارت غودل، أثبت أن فرضيه الإستمراريه مستقله عن نظام ZFC. من المستحيل الإستنتاج من القواعد العاديه للرياضيات كما نفهمهم إذا ماكانت فرضيه الإستمراريه صحيحه أو لا. كانت هذه النتيجه الرائعه التي من أجلها في العام 1966 م فاز كوهن بميداليه فيلدز Fields Medal( أي مايعادل جائزه نوبل في الرياضيات ) و نحن حصلنا في العام 1967م على الميداليه الوطنيه للعلوم من قبل رئيس الولايات المتحده جونسون.
الإستمراريه: و يستمر الجدل
بفضل عمل كوهن فنحن نعلم أننا لايمكن أن نأمل في حل فرضيه الإستمراريه بطريقه أو بأخرى من ZFC. لكن مجموعه المسلمات النظريه لا توجد من فراغ: تم إختيارها لتعكس حدسنا عن كيف ينبغي أن تعمل المجموعات. إذن حتى لو أننا لانستطيع إثباتها مازلنا نستطيع أن نسأل إذا كانت فرضيه الإستمراريه الإفتراض الطبيعي الذي ينسجم مع أفكارنا الفطريه حول المجموعات.
جادل رياضي نظريه المجموعات Hugh Woodin في حاله إعتبار أن فرضيه الإستمراريه خاطئه أن هو إفتراض أكثر طبيعيه. و قد جادل أشخاص آخرون للحصول على قيم أكبر للإستمراريه. كتب كوهن نفسه أنه يعتقد أن يجب أن تكون أكبر من و حتى أكبر من .
إلى اللانهايه و أكبر، أكبر كثيراً
كان ديفيد هلبرت هو الذي قال :" لايجوز لأحد أن يطردنا من الجنه التي خلّفها لنا كانتور" . و بعد أكثر من مئه سنه من ولادته، لاتزال الأبحاث في نظريه المجموعات قويه. فرضيه الإستمراريه هي فقط الأولى في سلسله من مسلمات الأعداد الأساسيه الكثيره التي تتعامل مع الأعداد الأساسيه و التي لايمكن تخيلها أكبر من . عاده لاتوجد طريقه لكتابه هذه الأعداد الأساسيه، و وجودها عادة مايكون مستقلاً عن ZFC. إنه من الرائع أن مثل هذه المواضيع من نظريه المجموعات يمكن أن يكون لها نتائج في الأسفل على الأرض، بين الأعداد الطبيعيه. سوف يتذكر باول كوهن ليس فقط لإنجازاته الحاسمه لفرضيه الإستمراريه و مسلمه الإختيار: التقنيه التي إبتكرها –الجبر – لاتزال حتى اليوم طريقه قياسيه لبناء عوالم جديده من نظريه المجموعات و و تلقي الضوء على الروافد العليا لجنه كانتور.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.